第十章 保险的数理基础
【学习目标与重点】掌握保险费率的基本概念和构成；熟悉保险费厘定的原则和一般方法；理解保险产品定价的方法；熟悉基本的利息理论；理解人寿保险纯保险费的计算方法；理解人寿保险毛保险费的计算方法；理解财产保险纯费率及其计算方法；熟悉责任准备金的含义与类型；熟悉非寿险责任准备金和寿险责任准备金的计算方法。
第一节 保险精算概述
保险精算技术被认为是保险经营的核心技术之一。在保险经营中，产品定价、责任准备金计提、利源分析、偿付能力管理等诸多重要问题的解决，都离不开保险精算发挥的独特作用。本章以保险精算的发展历史为切入点，对保险精算的基本任务和基本原理进行介绍。
一、保险精算的产生与发展
所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作中的实际问题，进而为决策提供科学依据。而保险精算是以数学、统计学、人口学、金融学、保险学等学科为手段，研究保险经营的各个环节的数量分析，为保险公司良好运作、制定决策提供科学依据和工具的一门科学。如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。
寿险的前身是欧洲中世纪的基尔特（Guild）制度。18世纪中期以前，英国早期的寿险组织、资格最老的要数于1706年在伦敦成立的协和保险社。1721年经特许成立的皇家交易保险公司和伦敦保险公司开始经营寿险业务，此外，还有一些捐助团体以及联盟协会也经营寿险业务。当时，寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险经营缺乏严密的科学基础。
几百年来，保险业依靠承保人的判断力和技艺取得了成功。在过去极端缺乏统计资料的情况下，保险人对各种风险进行了估计并承保了这些风险。17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究人寿保险计算原理取得了突破性进展。一位是荷兰的政治家维德(Johan de Witt)，维德倡导了一种终身年金现值的计算方法，为国家的年金公债发行提供了科学依据。另一位是英国天文学家埃德蒙·哈雷(Edmund Halley)。1693 年，因彗星而闻名的哈雷(EdmundHalley)在研究德国布勒斯市居民1687-1691年的生存和死亡资料的基础上，编制了世界上第一个死亡表，从而使年金价值的计算更为精确，一些学者把这个日子看作精算科学的开始。18世纪40年代至50年代，英国人托马斯·辛普森(Thomas Simpson)根据哈雷的生命表，制作出依照死亡率增加而递增的费率表。英国数学家陶德森(James Dodson)依据年龄之差等因素而找出计算保险费的办法，1762年成立的英国公平人寿保险公司就是根据陶德森的精算结果收取保费的，“公平保险”也因而被认为是世界上第一家建立在科学准则基础之上的寿险公司。1779年，摩根发表了《年金及人寿、生存保险的准则》，他被认为是第一位在现代意义下可被称为精算师的人。此后，精算学在保险业中得到了越来越广泛的应用和发展。先是在1849年，英国伦敦成立了精算学会(Institute of Actuaries)。后来在1856年，苏格兰成立了精算学院。1895年国际性精算组织——国际精算会议(Intenational Congress of Actuaries)在比利时首都布鲁塞尔成立。美国精算学会和加拿大精算学会分别于1889年和1909年宣告成立，后于1949年合并为北美精算学会(SOA)，是世界上最大的精算组织。
如上所述，保险精算首先产生于寿险经营，这是因为寿险精算与寿险经营密不可分，而且寿险精算还是寿险经营的内在要求。所以，寿险精算反过来极大地推动了寿险业的发展，并最终形成了一整套的寿险精算体系。
相比于寿险精算，非寿险精算相对落后。那么，为什么非寿险精算在相对落后的情况下也得到了较好的发展？一个重要的原因就是所定的保险费率较高，保费收入不仅超过收支相抵的适当水平，还可提供充足的准备金以应对各种意外损失，因而使保险业仍有利可图。但是，进入20世纪以来，情况发生了根本的变化。首先，出现了前所未有的巨大风险；其次，在日益完善的保险市场上，保险人之间的竞争愈演愈烈；最后，还存在着保险费率大幅下降、奉行客户至上主义，甚至政府对某些险种的费率实行管制等多种因素。所有这些都使现代条件下的承保变得极为困难。此外，若出现严重的通货膨胀，还将导致赔付额大大超出预付保费所能承受的范围。由于新技术的迅速发展，新的风险在所承保的总风险中所占的比例不断增大，而对于这些新风险却缺乏足够的经验作为厘定费率的基础。投保人却已适应了这些变化，并在尽量寻求价格更低廉、服务更全面的保单，只要他们发现某些方面有利于己，就可能会变更自己的保险人。因此，当代的保险人不再可能收取显著高于适当水平的保费，并在业务中保持。此时，随着统计理论及其不断成熟，保险人在确定保险费率、应付意外损失的准备金、自留限额、未到期责任准备金和未决赔款准备金等方面，都力求采用更精确的方式以取代以往的经验判断。
顾名思义，精算师是在保险公司专司精算职责的人。通常，精算师在保险公司的传统职能是计算保险费率和评估公司每年度的责任准备金。国家保险监管部门对保险费率和保单条款的审核很严格，对责任准备金的计算也有一套严格的规定，新险种的审批更是要经过一段较长的时间。这些因素使精算师的职能受到了较大的限制。随着国际保险市场的开放和保险精算的发展，有些国家已经开始授予一定的法定职能于精算师。发生这种转变的主要原因有：①政府监管部门的职责主要是确保保险市场的整体稳定、定价合理、保险公司的财务稳定和能够为投保人提供保障。②寿险品种和保险市场的发展日趋复杂，政府部门难以随时审核每家保险公司的经营情况。③部分国家和地区的精算师学会为其会员制定专业指引和守则，以确保其会员可以正常履行精算师的职能；同时，接受过专业训练的精算师，因为经常参与公司的业务，可以熟悉保险公司的整体运作。④为了增强保险公司的竞争能力，有关保险条例必须根据每家公司的不同情况灵活处理，同时必须顾及保险公司财政状况的稳定。
【拓展阅读】10-1
约翰·格朗特与哈雷的统计思想
约翰·格朗特于1620年出生于英国伦敦。1662年，约翰·格朗特出版了一本关于人口方面的著作《关于死亡表的自然和政治的观察》（Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality），书中第一次编制了“生命表”，书的最后还附了一张死亡概率表，这张表被视为生命表的雏形。该书出版后，格朗特当选为皇家学会理事会成员，也是伦敦皇家学会会员的第一位统计学家。其主要的创新思想是：
1.死亡表的提出。19世纪之前，欧洲因黑死病流行，死亡率很高。格朗特写这本著作所依据的资料来源于1604年起由伦敦的教会每周发表一次的“死亡公报”（bill of mortality）。格朗特书中分析了60年来伦敦居民死亡的原因及人口变动的关系。
2.人口数量的估算。格朗特并没有直接采用进行洗礼人的数量。而是根据伦敦每年每周举行葬礼的次数、有怀孕能力的妇女人数等，推算出伦敦居民的人口估计值。
3.寿命表的创立。格朗特所发现的人口寿命规律具体表现在他创造性地编制了初具规模的“寿命表”，这是综合评定各种年龄死亡率与人口寿命的统计表。在调查期间（1604-1661年），他考虑了由十个不同的原因（诸如：堕胎和死胎、鹅口疮、惊厥、佝偻病、出牙等）造成的死亡人数。在出生的100名儿童中，能活到6岁的只有64个，活到16岁的只有40个，活到76岁的只有1个，一般没有人能活到86岁。在每100人中，年龄与死亡之间的关系是迥然相异的。
4.大数法则思想的萌芽。格朗特通过对事物进行充分的大量的观察，可使事物中非本质的偶然因素的影响相互抵消或削弱，从参差不齐的数据中归纳出了大致相同的准则，从而显示出整个现象稳定的、具有一般特征的“大数法则”。例如，他发现整体上男性的出生数比女性的出生数略高，但总体而言，男女的数量保持着一定的平衡，这个事实发现的更重要的价值在于为反对一夫多妻制提供了有力的证据，自此以后，这种性别出生的比率问题成为统计学领域的一个热门的话题。
格朗特的工作对同时代乃至后来的学者都产生了影响，因此，格朗特被尊称为“近代统计学之父”。
表 死亡概率表节选 (TABLE OF CASUALTIES）
The Year of Our Lord |
1647 |
1648 |
1649 |
1650 |
1651 |
1652 |
1653 |
1654 |
1655 |
1656 |
1657 |
Abortive, and Stillborn |
335 |
329 |
327 |
351 |
389 |
381 |
384 |
433 |
483 |
419 |
463 |
Aged |
916 |
835 |
889 |
696 |
780 |
834 |
864 |
974 |
743 |
892 |
869 |
Ague, and Fever |
1260 |
884 |
751 |
970 |
1038 |
1212 |
1282 |
1371 |
689 |
875 |
999 |
Apoplex, and sodainly |
68 |
74 |
64 |
74 |
106 |
111 |
118 |
86 |
92 |
102 |
113 |
Bloudy Flux, Scouring and Flux |
155 |
176 |
802 |
289 |
833 |
762 |
200 |
386 |
168 |
368 |
362 |
Cancer,Ganerene, and Fistula Wolf |
26 |
29 |
31 |
19 |
31 |
53 |
36 |
37 |
73 |
31 |
24 |
Canker.Sore-mouth, And Thrush |
66 |
28 |
54 |
42 |
68 |
51 |
53 |
72 |
44 |
81 |
19 |
Childbed |
161 |
106 |
114 |
117 |
206 |
213 |
158 |
192 |
177 |
201 |
236 |
Chrisomes, and Infants |
1369 |
1254 |
1065 |
990 |
1237 |
1280 |
1050 |
1343 |
1089 |
1393 |
1162 |
Colick, and wind |
103 |
71 |
85 |
82 |
76 |
102 |
80 |
101 |
85 |
100 |
113 |
资料来源：Graunt John. Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality [R]. The Johns Hopkins press in Baltimore, 1939
1693年，哈雷受伦敦皇家协会之托，利用诺曼所统计的德国布雷斯劳市1687-1691年出生与死亡人数的数据，做了大量的计算工作，完成了一篇关于死亡率和生命表的论文并发表在《英国皇家学会哲学会刊》。哈雷提出了格朗特在《对死亡表的自然观察和政治观察》的几处缺陷：第一，样本数量不够大；第二，没有统计死亡的人的年龄；第三，由于人口流动，在伦敦死亡的人不一定是在伦敦出生的，不具有制作真正生命表的条件。这就使得格朗特的统计数据会存在较大的统计误差。
诺曼对于布雷斯劳市的统计数据非常详尽和准确，再利用帕斯卡的期望值的数学概念，哈雷绘制了生命表。哈雷使用了类似于现代生命表的方法，只要知道一个人的出生日期，那么他能活到多少岁的概率就可以计算出来了。那时英国发行的年金购入期限并不科学，用的是蒙丹斯公债储金法的那套手段，没有足够的统计技术支持，广受诟病。哈雷编制的生命表的出现解决了这个难题。一个人购买人寿保险，享受的权利应该与缴纳的保费对等，只需缴纳他活到预期寿命这段时间的现值即可。现在来看。年轻的保费低廉，年老的保费高昂也正是源于此理。
哈雷在1693 年发表的这篇论文，在精算学、人口学和生物统计学的发展历史中都是一个里程碑事件。哈雷编制的这张生命表，也被称为世界上第一份最科学、最完整的生命表。它为现代人身保险事业的发展奠定了牢固的基础。
资料来源：吴嘉桐，王幼军.约翰·格朗特统计思想研究.决策探索.2019（12）.
佚名.保险小故事——保险生死簿整理.https://zhuanlan.zhihu.com/ 2020-04-30.
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是：“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”精算是从保险业的发展中不断完善的。由于保险公司的基本职责是分摊风险和补偿损失，所以一般要求保险公司有足够的分散风险能力。保险公司所制定的保险费由纯保费和附加保费两部分组成。在纯保费部分不能有利润因素，附加保费则主要反映保险公司的营业费用和政府认可的合理利润。所以，只要保险公司能按大数法则出售保单，保险公司在每张保单上收取的纯保费等于该保单所要承担的预期损失，这就在理论上要求：纯费率=损失率。由此可以发现，保险定价中确定纯保费的关键是损失率的测算。而损失率测算的实质是对各种风险进行评估，如哪些风险是可以测算的，哪些是可保损失，损失的可控性如何，这些也是保险精算研究的原始问题。
在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。由于利率一般是由国家控制的，所以在相当长的时期内利率并不是保险精算所关注的主要问题，死亡率的测算即生命表的建立则成为寿险精算的核心工作（即使现在也仍然是精算研究的课题）。寿险精算自产生以来，目前不仅研究单个生命单一偶然因素相关的一系列问题，而且还涉及单个生命多个偶然因素的有关问题。当多个偶然因素涉及死亡、残废、离退职及退休等时，又派生出一门与生命随机性相关的分支学科——社会保障精算。此外，寿险经营也发展到多个生命遭遇偶然因素的情形。
非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生了规模以及对损失的控制作为它的研究重心。现在，非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论，研究在过去有限的统计资料的条件下未来损失的分布情况以及损失和赔款的相互关系等问题；二是风险理论，通过对损失频率和损失规模分布的分析，研究出险次数和每次损失金额大小的复合随机过程，以确定保险公司应具备多大的基金方可不“破产”，以及评估“破产”概率的大小等问题。
如上所述，保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。
三、保险精算的作用
世界上一些老牌保险公司一直把精算师摆在非常权威的位置，他们在强调自己雄厚实力的同时，常常说“本公司拥有多少多少名精算师”。因为经营者一直很清楚，对不确定性风险的分析水平和配置方略直接决定着公司乃至保险业的能力和信誉；任何涉及不确定性的保险、社会保障、福利、投资等方面的分析报告，精算分析都是最重要的内容。
保险精算的作用，主要表现在其可以为企业对未来的、不确定的、涉及财务的事件提出数量化意见。“提出数量化意见”则是一项可以涉及多视角、多因素、多工具的工作。最普遍的视角是风险事故损失支出的视角；最普遍的因素是死亡率、事故发生率等概率因素、利率因素与费用因素；最普遍的工具是统计学，也可以加入运筹学以及博弈论等其他分析工具。
例如，在销售医疗费用保险时，对一个健康的运动员与一个身体相对较弱的中老年人应收多少保费，或哪一位将生病是不确定的，但是研究一下这两类人的相关指标和过去的情况，精算师就可以为不同人群确定一个合适的保费。再如，对于养老基金公司的管理者而言，个人养老基金是一笔很大的资金，该基金为特定的人群提供将来年老后的养老金支付。或者说，这笔基金是为那些现在还很年轻的人将来年老后提供的退休养老金。这些养老金也许在40年中不会支付，也许在领取者的有生之年却要连续支付下一个40年。因此，养老基金的管理者们必须考虑下面两种情况：一是这些资产在40年或更长时间里的价值是什么？二是养老金领取者活着并领取养老金的时间有多长？而精算师的工作，就是把这些不确定事件的可能性数量化。
在预测未来方面，精算师常常必须对将来要发生的事件作出估计（预测）。
例如：估计一笔养老基金作为特殊的资产在未来十年中的利率；估计每100000套同一类型的房屋在下一年将被火灾损坏的房屋数；估计已经到具体的保险公司参加了人身保险中的人有多少将在未来10年中死亡；估计未来10年的通货膨胀率，进而估计一个具体的正在运营的公司在支出方面受到的影响；就一笔对政府发行的10年债券的投资而言，估计它的可兑现的现金流量的增值情况；就一项由一家大公司发行的权益股，估计它的可兑现的现金流量的增值……
很明显，如果精算师研究过去40年的通货膨胀率，或是研究过去10年中被火烧掉的房屋的比率或者一系列类似的数据，那就必须具备那样的能力——把未来的基本情况准确的设计出来。假如精算师发现在过去的每一年里，年初的所有房屋的9‰将在这一年底以前被烧掉，就可以预言在保险公司投保了的这类房屋将有9‰会在这一年中被烧掉，这样，就能对保险公司责任的成本作出确定的预告。然而，很多情况下，精算师不能准确的知道在给定的那一年中会有9‰的房屋被烧，只是知道整个比例在年复一年的上下波动，如它可能在6‰~12‰变化。于是，通过对过去资料的分析和计算之后，可以说，投保的房屋平均起来在未来一年中将有9‰的房屋被烧毁，但可能高达12‰或低至6‰。
针对这种情况，通过对过去的研究，精算师可以作出两个对未来的报告：一是按计算预期，平均会有百分之几的房屋被烧？二是实际的结果与我们预期的平均数的偏差幅度有多少？第一个报告预期的平均值肯定是关于未来事件的报告，但正是第二个报告——关于不确定的未来事件的报告，对于准确的设计未来的基本情况显得更为重要，这正是精算师的工作之一。
第二节 保险产品定价的数理基础和定价原则
一、概率与概率分布
如前所述，保险是人们对付风险的一种办法。保险的基本含义是损失发生的不确定性，如果损失必然发生或不会发生，那么就不存在不确定性，也就没有风险。既然风险具有不确定性，那么保险又怎样才能应付风险呢？这就需要首先了解概率。
在自然现象和社会经济现象中，有一些现象（例如，火灾、地震、生病、死亡、市场价格）就其个别来看是无规律的，可以看作一种随机事件。通过大量的试验与观察之后，这些随机事件就其整体来看都呈现出一种严格的无偶然的规律性，对这种规律性进行定量描述，就是用所谓概率。
概率也称“或然率”“概率”，它是衡量随机事件出现的可能性大小的一个数量指标。在一定条件下，概率大，表示某种随机事件出现的可能性大；反之，则表示这种随机事件出现可能性小。以概率为尺度，从数量的角度来研究随机事件变动的关系和规律性的科学称为概率论。
概率是一个常数，它的特点是不大于1，不小于0，用公式表示如下：
式中：0表示不可能事件发生的概率；1表示必然事件发生的概率；表示某种随机事件；P表示事件的概率逐渐稳定于某个常数；表示随机事件发生的概率。
在上式中，越大，表示随机事件越容易发生；当等于1时，表示为必然事件，相反，越小，表示随机事件越不可能发生；当等于0时，表示为不可能发生的事件。
在对风险的预测中，需要了解该风险损失（随机事件）的概率分布。风险损失的概率分布，是用来显示各种可能损失结果发生的概率，它是从若干方面的数量来观察的，较为常见的有：第一，关于每年总损失的概率分布，也就是指在一特定年度中，一定单位可能遭受的最大损失。第二，关于每年损失发生次数的概率分布，也就是损失频率的概率分布。第三，关于每次损失发生金额大小的概率分布，也就是损失幅度的概率分布。不同的损失具有不同的概率分布，常见的损失分布模型有正态分布、指数分布、伽玛分布、对数正态分布、帕累托（Pareto）分布、对数伽玛分布等，而这些概率分布都是厘定不同保险产品保险费率的重要依据和方法。
二、大数定律
在讨论概率的频率解释时，曾经提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于某个常数。大数定律所要揭示的就是这类稳定性。大数定律是用来说明大量随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称，是保险经营的重要数理基础。下面我们简要加以介绍。
（一）切比雪夫大数定律
设是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差：，则对于任意的，都有：
将这一法则运用于保险经营，可说明其含义。
假设有个被保险人，他们用时投保了个相互独立的标的，用表示每个标的发生损失的大小，它是一个随机变量，且所有的期望值相等，即有：
如果我们按照保险标的可能发生的损失的期望值计算纯保费，而把每个视为实际损失，很显然，每个被保险人的实际损失与其损失期望值一般都不会相等，然而根据大数定律，只要承保标的数量足够大时，投保人所缴纳的纯保费与每人平均所发生的损失几乎相等。这个结论反过来则说明保险人该如何收取纯保费，即只有当一个投保人所缴的纯保费等于他的损失期望值时，才能保证保险人在整体上的收支平衡。
（二）贝努利大数定律
设事件在一次试验中以概率发生。以表示在次独立重复试验中事件出现的次数，则对于任意的正数，有：
贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律中，设每个是服从0-1分布的随机变量，即：
令，则可由切比雪夫大数定律推出贝努利大数定律。
贝努利大数定律表明事件发生的频率具有稳定性，也即当试验次数很大时，事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。这一定律是用频率解释概率的数理基础，这对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。在非寿险精算中，可以假设某一保险标的具有相同的损失概率，这样就可以通过以往的有关统计数据，求出一个比率，即这类保险标的发生损失的频率，这个计算出来的频率即为损失概率。但通过这种方法计算出来的损失概率是对实际概率的估计，与实际概率之间有一个偏差。根据大数定律，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，计算出来的这一比率将与实际损失概率很接近。也就是说，随着保险标的的数量的增加，根据概率的频率解释计算出来的损失概率与实际损失概率之间的误差会逐渐减少，估计出来的损失概率的稳定性和真实性变得很高。所以，保险人承保的保险标的的数量越大，则保险人根据大数定律厘定的保费越准确，财务稳定性越强，经营风险越小。
（三）泊松大数定律
假设某一随机事件在第一次试验中出现的概率为，在第二次试验中出现的概率为在第次试验中出现的概率为。同样用来表示此事件在次试验中发生的次数，则根据泊松大数定律对于任意的，有：
泊松大数定律的意思是：当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。
泊松大数定律运用于保险经营上，可以说明，尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可在平均意义上求出相同的损失概率。为了有足够多的标的，便于运用大数定律，可以把性质相近的标的集中在一起，求出一个整体的费率。
大数定律应用于保险得出最有意义的结论是：当保险标的的数量足够大时，通过以往统计数据计算出来的估计损失概率与实际概率的误差将很小。保险经营利用大数定律把不确定数量关系向确定数量关系转化，即某一风险是否发生对某一个保险标的来说是不确定的，可能发生也可能不发生。但当保险标的的数量很大时，我们可以很有把握地说，其中遭受风险事故的保险标的的数量是多少。这样，根据大数定律，我们把对单个保险标的来说不确定的数量关系转化为对保险标的的集合来说确定的数量关系。
最后，可以通过一个简单的例子来说明大数定律对保险经营的重要意义。例如，在抛掷硬币的随机试验中，知道正面朝上的概率为0.5，但0.5只是理论上的概率，在实际的随机试验中实际发生的概率不会恰好为0.5，而会有一些误差。在10次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为3次，另7次为反面。这时，正面朝上的实际发生概率为0.3，与理论概率0.5有0.2的误差。在1000次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为470次，另530次为反面。这时，正面朝上的实际发生概率为0.47，与理论概率0.5有0.03的误差。在100000次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为49700次，另50300次为反面。这时，正面朝上的实际发生概率为0.497，与理论概率为0.5的可信性也随之增大，换句话说，正面朝上的实际发生概率的稳定性会增加。所以，对一组多数损失风险单位比对单个损失风险单位能作出更加准确的估计。保险标的数量越多，实际发生损失概率与预期损失概率越接近，通过以往统计数据得出的预期损失概率的确定性越高，正如抛掷100000次硬币出现正面朝上的次数会比抛掷10次硬币出现正面朝上的次数更接近其半数一样。
三、保险费和保险费率
保险费就是购买保险服务产品的价格，它也是保险经营的物质基础。保险人通过向投保人收取保险费以建立保险基金，当被保险人遭受约定的灾害事故并受到损失时，保险人就用该基金支付赔款或给付保险金，从而实现保险的基本职能。
投保人缴纳的保险费一般称为毛保费，它可以分解为纯保费和附加费两部分。其中，纯保费是保险人用来建立保险基金，将来用于赔付的那部分保费，也称为净保费；附加费主要用于保险人的各项业务开支和预期利润，包括职工工资、业务费、企业管理费、代理手续费、税金、利润等。
保险费是保险人按单位保险金额向投保人收取保险费的标准。保险费率与保险费之间一般存在以下关系：
保险费=保险金额×保险费率
保险费=基本保险费+保险金额×保险费率
与保险费的分解相对应，保险费率也有毛费率、纯费率和附加费率之分。其中，纯费率是对应于每个风险单位保额的可能损失额。在理论上它是所投保标的因保险事故而发生损失的概率。附加费率是对应于每个保险单位的保额损失变动相对于正常变动的损失和单位保额的经营费用。
保险公司厘定保险费率时，对纯保费率（也叫净保费率）和附加保费率（费用率）是分开计算的，其中最重要的是计算纯保费。人身保险的纯费率主要是根据不同投保人群的死亡率（死亡保险）、生存率（生存保险）、某种疾病发生率（健康保险）或意外事故发生率（意外伤害保险）来计算的，而财产保险的纯保费主要是根据在过去多年中该类保险财产的损失率计算的（具体介绍见本章第三节和第四节）。附加保费率是根据保险标的的损失变动程度和该类业务分摊的费用在该类业务总保费收入中所占比例来确定的。所以附加保费率一般分为两部分，第一附加费率和第二附加费率。
第一附加费率是以异常损失为基础的，主要用来对保险标的的异常损失进行赔偿或给付。如前所述，保险事故的发生有一定规律，风险事故损失的规律性和稳定性（正常损失）要在足够大的空间范围和经过足够长的时间跨度能观察到和通过概率论进行估计；但同时由于存在多种随机因素，使在某一时期的实际损失背离正常损失。如果实际损失小于正常损失，对保险人来说影响不大；如果实际损失大于正常损失，则根据纯费率计算的保费就无法满足损失补偿的需要，甚至造成保险公司的给付危机。例如，像美国洛杉矶1976年发生的大地震、2001年发生的“9·11”事件，包括我国在内的20多个国家 2003年发生的“SARS”疾病的异常传播等，都会造成保险公司巨大的超常的赔付。这部分超常损失的部分，就由第一附加费率所收集的保费来补偿。第二附加费率是以保险人经营保险业的各种费用（包括管理费、工资等）、税负和保险利润为基础的。通过这部分附加费率收集的保险费，就用于这些费用支出和为保险公司提供利润。附加费率要受到保险监管部门（和）或财政部门的监督和核定。
四、保险费率厘定的基本原则
保险人在厘定费率时要遵循权利与义务平衡的原则，具体包括以下几点：
（一）公平合理原则
公平合理原则是指保险费率在保险人与投保人之间及各投保人之间要体现公平合理的原则。投保人与保险人之间的公平合理，一方面表现为必须贯彻损失补偿原则，另一方面强调保险费率不能过高。费率的适当体现在纯费率厘定时的风险附加要适当和附加费率中的利润设定不能过高。保险费率过高，会损害投保人的利益而使保险人获得过多利益。各投保人之间的公平合理，是指保险人向投保人收取的保险费应与保险标的所面临的风险程度相适应。在风险一致的条件下，同一风险单位应采用相同的保险费率，不同的风险单位应采用与其风险大小相匹配的保险费率。对于风险大的保险标的应采用较高的保险费率，而对于风险较小的保险标的应采用较低的保险费率。
（二）保证补偿原则
保险人按保险费率向投保人收取的保险费，必须足以应付赔款支出、保险金给付以及各种经营费用。因为保险费是补偿保险标的损失的基本来源，如果费率过低，低于保险财产的损失概率（或高于被保险人群的死亡率，低于被保险人群的生存率、低于被保险人群的某种疾病的发生率、低于某种意外事故的发生率）和合理费用率就会导致保险公司缺乏偿付能力，最终使被保险人因得不到保障而利益受损。
（三）相对稳定原则
尽管财产保险的损失率、费用率或者人身保险中的死亡率、费用率都是在经常变动的，保险费率需要根据经验数据加以调整，但是保险费率的厘定和调整，要保持相对稳定性。如果费率经常波动，会诱发投保人的投机心理；也会使投保人难以确定保费预算，增加对保险公司的反感，导致业务量的减少，还会给保险公司本身的财务核算带来困难。当然，费率的稳定不是绝对的，随着社会和经济的发展，技术的进步，各种防止风险事故发生的手段的改善，人的生命的不断延长，相关法律法规的调整，必然使各类财产和人身风险发生变化，索赔频率和额度也会随之变化，因此对于不适当的费率，应当根据实际情况加以调整，以便比较恰当地反映风险损失的变化趋势。
（四）促进损失控制原则
产品定价要能促进被保险方防灾防损，减少风险事故，一方面要鼓励和引导被保险人从事预防损失的活动，例如，鼓励投保火灾保险的被保险人配置防火灭火设备，以减少火灾风险事故发生的机会，配备防盗装置以减少盗窃风险损失发生等。对防灾设备齐全、制度健全、损失频率和损失程度较低的被保险人，应当给予奖励（适当降低费率），以资鼓励他们在风险损失控制方面所作的努力；另一方面，对不注重防灾防损、制度不健全、损失频率和损失程度较高的被保险人，应当收取较高费率，以期促进其进行风险损失的控制，从而降低社会财产的损失率和人的人身伤亡事故发生概率。
第三节 人寿保险产品的费率厘定
一、人寿保险费的构成及计算原则
人寿保险费由两部分构成：纯保险费和附加保险费。由于人寿保险费并不是一次付清的，所以，投保人所缴纳的纯保险费部分可分为风险保险费和储蓄保险费。前者用于当年保险金的支付，后者则是一种积累的保险费，用来弥补未来年份的赤字。附加保险费有用于保险费经营中的一切费用开支。纯保险费和附加保险费构成了营业保险费，它是寿险机构实际收取的保险费。
寿险计算的基本原则是收支平衡原则，“收”是指保险机构收取的保险费总额；“支”是指保险机构的保险金给付和支出的各项经营费用。这里所说的收支平衡，并不是数学意义上的简单相等，它要考虑货币的时间价值等一些重要因素。
二、人寿保险费率厘定的依据
人寿保险的保险标的是人的生命，保险人积聚众多投保人所缴纳的保险费，一旦被保险人在保险期间死亡，或满期生存时便给付保险金，所以人寿保险费率的首要影响因素是被保险人的死亡率、生存率。同时，人寿保险合同多为长期性合同，保费收缴期往往先于保险金给付期，所以利率因素也是影响人寿保险费率的一个重要因素。另外，经营人寿保险业务的保险公司所必需的各项费用开支，其来源也是投保人缴纳的保险费，所以营业费用的高低是影响人寿保险费率的又一因素。因此，人寿保险费率的计算依据是：预定死亡率、投资收益（预定利息率）、费用（预定营业费用率）。这三个因素通常被称作寿险保费计算的三要素。
人身意外伤害保险的风险性质与人寿保险的风险性质不同，因而计算保费所考虑的因素也不相同。一般在人身意外伤害保险中，被保险人面临的风险程度，并不因被保险人的年龄性别而有所差异，而在同一风险环境中所有的被保险人面临的风险程度基本相同。因此，人身意外伤害保险费率的制定一般不考虑被保险人的年龄，不以生命表作为制定费率的依据；同时，由于意外伤害保险大都为短期契约，制定费率时也不考虑利率因素。影响人身意外伤害保险的费率的主要因素是被保险人所从事的职业类别。
与人身意外伤害保险相同，健康保险在制定费率时，除高龄外，被保险人的年龄也不是影响费率的主要因素，因而同样不以生命表为制定费率的依据；同时，由于健康保险也为短期契约，制定费率时也不考虑利率因素。影响健康保险的费率的主要因素是被保险人所从事的职业类别、性别和以往健康状况等。由上述可见，人身意外伤害保险和健康保险的保险费率厘定方法实质上与财产保险的计算方法类似。
（一）生命表
确定死亡率的重要基础是生命表。
1.生命表的含义及分类
生命表，又称寿命表或死亡表，是根据一定时期的特定国家或地区或特定人口群体（如寿险公司的全体被保险人）的有关生命统计资料，经过分析、整理、计算出某一人群中各种年龄的人的生存和死亡概率，汇编而成的一种表格。它反映了各种年龄的人在一年内的死亡人数和一定年龄的人在一定时期内的生存率和死亡率，是寿险精算的数理基础，是人寿保险费率厘定的依据。
生命表一般分为国民生命表和经验生命表。国民生命表是以全体国民或特定地区的人口统计资料综合而成的生命表，又称普通生命表；经验生命表是以人寿保险公司承保的被保险人实际经验的死亡统计资料编制的统计表，在人寿保险费率计算中，一般采用经验生命表，经验生命表是寿险精算的科学基础，是寿险费率和责任准备金计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
现实中，实际发生的死亡率可能因组而异，有的组可能高于预期水平，有的组可能低于预期水平，因此，这些差异可能互相抵消。经验表明，男性和女性的死亡率不同，吸烟者和不吸烟者的死亡率不同，因此，生命表也可以分为男性非吸烟者和男性吸烟者生命表，女性非吸烟者和女性吸烟者生命表。此外，经验还表明，购买年金的被保险人其经济情形及身体状况通常较购买死亡保险的被保险人为好，前者的死亡率明显低于后者，故生命表也有寿险生命表和年金生命表之分。
经验生命表根据不同的标准可分为多种。首先，它可根据死亡统计调查期间不同分为选择表、终极表和综合表。选择表是依据保险人对被保险人的风险选择效果仍存在的资料编制而成的生命表。该表的死亡率同时考虑年龄及投保经过年数两项因素，故而最具准确性。由于不分红保费的制定必须准确，故常用该表。终极表是根据选择效果消失的资料编制而成的生命表。普通寿险的保费通常是根据该表计算的。综合表是以所有被保险人的经验而不考虑投保经过的年数而制定的生命表，即综合被保险人在保险合同订立后最初数年及以后数年间的死亡统计而编制的生命表，此表常用来制定简易人身保险的保费。其次，经验生命表根据统计对象性别的不同可分为男子表、女子表和男女混合表；根据寿险业务与年金业务的差异可分为寿险生命表和年金生命表，寿险生命表就是以寿险被保险人经验而编制的一种生命表，年金生命表是根据购买年金者的死亡统计所编制的生命表。
由于历史原因，在相当长的时期内，我国保险公司没有自己编制的生命表。人身保险业务主要参考使用日本全会社第二回、第三回生命表。1982年，我国开始着手编制自己的经验生命表，在编制过程中，收集使用了800万份寿险保单的数据，并分别在四省市（辽宁省、山东省和北京市、上海市）和全国其他地方进行调查。在1994年年底完成了数据的收集和调查工作，在1995年中期完成生命表的基础工作，并最终在1997年4月1日由当时的保险监管机构——中国人民银行颁布使用《中国人寿保险业经验生命表（1990－1993年）》计算我国的寿险费率、责任准备金及退保金。该表分非养老金业务男表、女表、男女表和养老金业务男表、女表、男女表。
2006年1月1日，中国保监会颁布的《中国人寿保险业经验生命表（2000-2003年）》及其配套使用政策正式生效。新生命表已正式作为我国寿险监管以及寿险公司责任准备金评估的标准表和寿险产品定价的参考表。新生命表分为非养老金业务表和养老金业务表共2套4张。其中，非养老金业务表零岁余命男性为76.7岁，女性为80.9岁，都较上一张表改善了3.1岁。60岁男性平均余命较旧表改善1.4岁，女性改善1.7岁。养老金业务表零岁余命男性为79.7岁，较上一张表改善4.8岁，女性为83.7岁，改善了4.7岁。
2017年1月1日，中国保监会发布的我国保险业第三套生命表——《中国人身保险业经验生命表（2010-2013年）》正式实施。针对不同保险人群，此套生命表编制出了三张表，包括非养老类业务一表2张、非养老类业务二表2张、养老类业务表2张。在一般情况下，定期寿险、终身寿险、健康保险应该采用非养老类业务一表；保险期间内（不含满期）没有生存金给付责任的两全保险或含有生存金给付责任但生存责任较低的两全保险、长寿风险较低的年金保险应采用非养老类业务二表；保险期间内（不含满期）含有生存金给付责任且生存责任较高的两全保险、长寿风险较高的年金保险应采用养老类业务表。
2.生命表的内容
生命表的编制为经营人寿保险业务奠定了科学的数理基础，作为计算人寿保险的保费、准备金等的主要依据，各子表中包含以下共同要素，统称为生命表函数。表10-1为根据《中国人身保险业经验生命表（2010-2013年）》中男性非养老业务一类的死亡率编制的生命表。
表10-1 中国人身保险业经验生命表（2010－2013年）
男（CL1）
年龄() |
死亡率（） |
年初生存人数（） |
年死亡人数（） |
生存人年数（） |
累积生存人年数 |
平均余命 |
0 |
0.000867 |
1000000 |
867 |
999567 |
76420142 |
76.42 |
1 |
0.000615 |
999133 |
614 |
998826 |
75420575 |
75.49 |
2 |
0.000445 |
998519 |
444 |
998296 |
74421750 |
74.53 |
3 |
0.000339 |
998074 |
338 |
997905 |
73423453 |
73.57 |
4 |
0.000280 |
997736 |
279 |
997596 |
72425548 |
72.59 |
5 |
0.000251 |
997456 |
250 |
997331 |
71427952 |
71.61 |
6 |
0.000237 |
997206 |
236 |
997088 |
70430621 |
70.63 |
7 |
0.000233 |
996970 |
232 |
996854 |
69433533 |
69.64 |
8 |
0.000238 |
996737 |
237 |
996619 |
68436679 |
68.66 |
9 |
0.000250 |
996500 |
249 |
996376 |
67440060 |
67.68 |
10 |
0.000269 |
996251 |
268 |
996117 |
66443685 |
66.69 |
|
|
|
|
|
|
|
101 |
0.476447 |
1658 |
790 |
1263 |
2409 |
1.45 |
102 |
0.506830 |
868 |
440 |
648 |
1146 |
1.32 |
103 |
0.537558 |
428 |
230 |
313 |
497 |
1.16 |
104 |
0.568497 |
198 |
113 |
142 |
184 |
0.93 |
105 |
1.000000 |
85 |
85 |
43 |
43 |
0.50 |
生命表一般用符号表示对应的含义：
（1）为被观察人口的年龄，从0岁开始直至极限年龄105岁，极限年龄一般用表示，假设该年生存的人全部死亡。
（2）为死亡率，表示岁的人当年死亡的概率，即岁的人在到达岁前的死亡概率，为年内死亡人数与年初生存人数的比值。
（3）为生存人数，表示以一定的出生率（本表为100万）为基数。生存至岁的人数，亦即当年之初的生存人数。
（4）为年死亡人数，表示岁的人在年内死亡的人数。
（5）为生存人年数，是对初始人群在一定时间内存活的总时间数的估计，通常以年为单位，符号表示个新生婴儿在岁至岁的一年内存活的总时间数。
（6）为累积生存人年数，表示个新生婴儿在岁之后存活的总时间数，又或者是在岁时处于生存状态的个个体的剩余寿命之和。
（7）为完全平均余命，指在岁时处于生存状态的个体的平均剩余寿命。
3.生命表中的几个关系式
（1）。该式表示，岁的人年初的生存数与年内的死亡数的差额就是次年岁的人的生存人数；上式也可写作：
即来年死亡人数是本年初生存人数与次年初生存人数之差。
（2）。该式表示连续数年死亡人数之和等于第一年年初生存人数与最后一年年初生存人数之差。
（3）。该式给出了生存率与存活人数之间的关系。生存率是次年年初生存人数与本年年初生存人数之比，它表示岁的人能生存到岁的概率。
同理，可以推导出另一个关系式：
该式表示岁的人存活到岁的生存率。
（4）。死亡率是年内死亡人数和年初生存人数的比率。显然：
同理，可推导出岁的人在年间的死亡率关系式：
不难发现，岁的人年度生存率与死亡率之和为1。
（5）表示岁的人在生存了年之后，于年内死亡的概率。
（二）投资收益（利息）
保险公司在确定保单价格时应考虑的第二个因素是投资收益。显然，保费收入是用以支付寿险理赔资金的主要来源。因为保费的收取与赔偿金给付在时间上存在差异性，这种时间差使保险企业在资本金和公积金之外，还有相当数量的资金在较长时间内处于相对闲置状态，因此，保险人可以在此期间将其进行投资。国际经验表明，寿险公司可以通过许多渠道进行投资，如投资于政府债券、公司债券、公司股票、抵押债券、保单贷款、房地产等。
利息是资金所有者由于借出资金而获得的报酬。利息广泛存在于现代生活中，已成为衡量经济效益的一个尺度。利息率是指借贷期间所形成的利息额与所贷资金的比值。以不同的标准，可以划分出各种各样的利息类别。以计算利息的期限单位为标准，利息可划分为年率、月率和日率。年率是以年为单位计算利息；月利率、日利率分别是以月、日为单位计算利息。
人寿保险机构在经营业务时，必须考虑利息因素，因为它直接影响着保险人的经营绩效，无论是确定保险费率，还是进行保险基金的投资，无不涉及利息的计算，利息的计算方法有两种，即单利和复利。
1.单利
单利计算利息的特点就是，就是对利息不再付息，其计算公式为：
式中，为利息额；为本金；为利息率；为借贷期限；为本利和。
如一笔为期3年，年利率为5%的10000元存款，利息额为1500元（=10000×5％×3），本息和为11500元[=10000×（1＋5％×3）]。
2.复利
复利是一种将上期利息转化为本金一并计算的方法，即上期的利息在本期也生息，如按年计息，第一年按本金算出利息，第二年计算利息时，要把第一年利息加在本金之上，然后再计算。如此类推，直到合同期满，复利计算的公式是：
用复利计算上述实例的利息：
（元）
可见，用复利计算，利息多出了76元。和单利相比，复利是更符合利息定义的计算利息方法，现代经济生活中，复利的运用十分广泛。
3.终值和现值
在人寿保险费率的厘定过程中，常常会遇到终值和现值的问题。终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，也就是本利和。在上例中，3年后的本利和 11500元就是终值。
现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。如上例中3年后的11500元折合到现在的价值为10000元，这10000元就是现值。
以上都是在以单利计算的情况下讨论的终值和现值。在以复利计算时，终值可表示为：
现值可表示为：
在人寿保险费的计算中，用的现值和终值都是按复利法计算的，并且为了便于计算，编制成现值表、终值表以备查用，在现值表中，令，即是1年后每1元的现值，即贴现因子，则是年后每1元的现值。
例如，求现在存入多少钱，可在复利为5%的前提下，3年后得到10000元。
（元）
4.年金
年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则的收或付的款项，依据不同的标准，年金可划分为很多类。按支付条件，年金可分为确定年金和生命年金。前者是指年金的支付有确定的起讫时间；后者是指年金的支付没有确切时间，仅依赖于生存或死亡是否发生。对人寿保险而言，有意义的年金划分方式还有以下几种：以每期年金支付的条件为标准，可分为期首付年金和期末付年金。期首付年金是指年金的支付发生在期初。期末付年金是指年金的支付发生在期末。以支付开始的时间为标准，可分为即期年金和延期年金。即期年金是指一旦年金领收入符合条件就立即开始支付的年金，延期年金是延长一定时期后才开始支付的年金。
鉴于期首付年金和期末付年金在厘定保险费率时较为常用，下面详细加以介绍：
（1）期首付年金。以表示年金支付的期间，用表示利率，设支付额为,和分别表示期首付年金的现值和终值，令，则可得到以下公式：
可见，和之间存在着这样的关系：
（2）期末付年金。以表示年金支付的期间，用表示利率，设支付额为,和分别表示期末付年金的现值和终值，令，则可得到以下公式：
期首付年金与期末付年金的现值与终值之间有以下关系：
（三）费用
保险公司的运营成本是寿险产品定价必须考虑的第三个因素，运营成本包括销售和佣金成本、建立和维护总公司及分支机构的费用、雇员薪金、税收、股东分红（如果是股份公司）等，为了补偿上述这些运营成本及获得预期利润，保险公司必须在净保费的基础上加收一笔保费，这一笔保费被称为附加保费。净保费和附加保费之和称为毛保费，它是保险人销售保单时向投保人收取的总保费。
三、人寿保险纯保险费的计算
与自然纯保险费、趸缴纯保险费、均衡纯保险费对应，保险费缴纳方式分为两种：趸缴和分期缴纳。趸缴是指投保人将保险费一次缴清；分期缴纳指在一定期限内按某一数额缴纳保险费。
（一）趸缴纯保险费的计算
如果投保人在保险开始时向保险公司一次交清其全部应交的保险费，则这样的交费方式称为趸缴方式。
1.定期人寿保险的纯保险费
假定保险期限为n。按照定期人寿保险的承保条件，如果被保险人在保险期内遭遇死亡，则由保险公司按保险金额进行给付；如果被保险人生存至期满，则保险公司无须支付。
假定被保险人的年龄为岁，年初每个投保人应交的纯保险费为元，则保险公司收取的纯保险费总额为元。
依据生命表的规律，第一年有个人死亡，每人给付1元，共元，给付额的现值为元；第二年有个人死亡，给付额的现值为；依此类推，第年有个人死亡，其现值为。
依据收支相等的原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有：
其中，为折现率。如果令：
则可得到：
2.终身人寿保险的纯保险费
终身人寿保险的保险期间亘于被保险人的一生，仅于被保险人死亡时给付保险金。各个国家的生命表，都有一个最终年龄，因此，终身人寿保险可以看作一种长期的定期人寿保险，故其趸缴纯保险费的计算，只需将一般定期人寿保险的纯保险费中的年做相应的变化即可。假设生命表中所定最终年龄为岁，则有：
如果令:
则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示如下：
3.纯粹生存保险的纯保险费
生存保险以被保险人在一定时期内继续生存为条件，由保险人负给付保险金的责任。假若被保险人不幸在期内死亡，则合同终止，保险人不进行任何给付。故生存保险金给付的多少，由到期时尚生存的被保险人的数量决定。
假定岁的人投保年定期生存保险，所交的纯保险费为，投保时共有人，则纯保险费总额为元。年后的生存人数为人。考虑利率因素，依据收支相等原则，有：
整理后可得：
4.混合保险的纯保险费
混合保险是一种生死合险，即被保险人不论生存或死亡，到达一定时期后，保险人均须给付定额保险金。所以，这种保险可以看作定期保险与生存保险的组合。如果把保险期限为年的混合保险的纯保险费记为，则应有：
（二）年缴纯保险费的计算
一次性缴清保险费可以减少诸多烦琐环节，这对保险人、被保险人双方都有利，但现实的情况是，被保险人往往不愿意拿出较大的一笔钱缴纳保险费。为了解决这个问题，保险费缴纳可以采取分期的方式，即保险人允许被保险人分期缴纳，如按年、按季、按月来缴付。一般来说，按年度缴费最为普通。采用年缴均衡纯保险费，根据收支平衡原则，投保人所缴纳的年缴纯保费的现值的总和应当等同于保险金给付的现值的总和，也等同于趸缴纯保险费。
四、人寿保险毛保险费的计算
保险公司所收取保险费，应足以应付保险给付的支出及费用的开支。用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为毛保险费。计算毛保险费一般可使用三种方法：
（一）三元素法
三元素法把附加费用分为三类：原始费用、维持费用、收费费用。原始费用是保险公司为招揽新合同，在第一年度支出的一切费用，在这里，我们把单位保额的原始费用设为。维持费用是指整个保险期间为使合同维持保全的一切费用，它应分摊于各期，可把单位保额的维持费用设为。收费费用是指收取保险费时的支出。与维持费用一样，它也分摊于各期，单位保额的费用可设为。然后，把将来年份的附加费用折合成现值，就可得到附加保险费的现值之和。再根据“毛保险费现值=纯保险费现值+附加保险费现值”的原理，来计算总保险费。三元素法的优点是计算结果准确，缺点是计算过程复杂、烦琐。
（二）比例法
比例法假设附加保险费为毛保险费的一定比例。这一比例通常是根据经验来确定的。设毛保险费为，纯保险费为，附加保险费比例为，则有：
整理得：
比例法的优点是计算简便，不足之处在于的确定缺乏合理性。
（三）比例常数法
比例常数法是根据每张保单的平均保额确定出的每单位保额所必须支付的费用。并把其作为一个固定常数。然后，再确定一个毛保险费的比例作为附加保险费。设固定常数为，则可得：
整理得：
第四节 财产保险产品的费率厘定
和人寿保险费一样，财产保险的保费也由两部分构成：纯保险费和附加保险费。财产保险费率的厘定是以损失概率为基础的，它先通过对保额损失率和均方差的计算求出纯保险费率，再计算附加保险费率。
一、财产保险纯费率及其计算
纯保险费率是用于弥补被保险人因保险事故发生而造成的损失的金额，它的计算公式是：
纯保险费率=保额损失率×(1+稳定系数)
式中，保额损失率是赔偿金额与保险金额的比值，稳定系数则是衡量期望值与实际结果密切程度的一个参数。
保额损失率的计算公式为：
根据历年来的保险事故发生情况，可求出平均保额损失率。下面举例说明，资料见表10-2。
表10-2 历年损失情况表
年份 |
第1年 |
第2年 |
第3年 |
第4年 |
第5年 |
第6年 |
第7年 |
第8年 |
第 9年 |
保额损失率(%) |
5 |
5.1 |
4.8 |
5.4 |
4.7 |
4.9 |
4.5 |
5.4 |
5.2 |
设为平均保额损失率；为不同时期的保险损失率；为期限，则可得出以下公式;
可见，是9年间的平均保额损失率，但它并不是所要求的纯保险费率，因为它具有不稳定性，还要求出稳定系数才能了解保额损失率的波动程度。稳定系数的计算公式为：
稳定系数=均方差÷平均保额损失率
式中，均方差是指各年保额损失率与平均保额损失率的离差平方和平均数的平方根，它能表明平均保额损失率的代表性。均方差的计算公式为：
式中，为均方差；为各年保额损失率；为平均保额损失率；为年限。依据上例中的数据进行计算，结果见表10-3。
表10-3 保额损失率、离差和离差平方
年份 |
保额损失率 |
离差 |
离差平方 |
第1年 |
0.05 |
0 |
0 |
第2年 |
0.051 |
0.001 |
0.000001 |
第3年 |
0.048 |
-0.002 |
0.000004 |
第4年 |
0.054 |
0.004 |
0.000 016 |
第5年 |
0.047 |
-0.003 |
0.000009 |
第 6年 |
0.049 |
-0.001 |
0,000 001 |
第 7年 |
0.045 |
0.005 |
0.000025 |
第8年 |
0.054 |
0.004 |
0.000016 |
第9年 |
0.052 |
0.002 |
0.000004 |
代入公式得:
于是可求出稳定系数：
一般说来，稳定系数越低，则保险经营的稳定程度越高；稳定系数越高，则保险经营的稳定程度越低。一般认为稳定系数的取值在10%和20%之间是合适的，因此，5.8%的稳定系数很低，说明保险经营的稳定程度很高。
有了平均保额损失率和稳定系数，就可以计算出纯保险费率。
二、附加保险费率的计算
附加保险费率与营业费用密切相关。附加保险费率的计算公式为:
营业费用主要包括：① 按保险费的一定比例支付的业务费、企业管理费、代理手续费及缴纳的税金；② 支付的工资及附加费用；③ 预期的营业利润。
除了按上述公式计算附加保险费率外，还可以按纯保险费率的一定比例来确定附加保险费率，如规定附加保险费率为纯保险费率的20%。
财产保险的毛保险费是由纯保险费和附加保险费构成的，其计算公式为：
但这样得出的毛保险费仅是一个大致的数据，实用性不强。因此，还必须根据不同业务，进行分项调整，这种调整被称为级差费率调整，经过级差费率调整后，毛保险费率就最终形成了。
第五节 保险责任准备金的提存
一、责任准备金的含义与类型
责任准备金(reserves)是保险公司按法律规定为在保险合同有效期内履行赔偿或给付保险义务而将保险费予以提存的各种金额。保险公司所收取的纯保费，并不是保险公司的利润，其中绝大部分都会因保险事故的发生而赔偿或者给付被保险人或受益人。因此，为兑现保险合同约定的承诺，保险公司必须提存各种责任准备金，以保证在合同约定的保险事件发生后，向被保险人或受益人支付保险金。由于保险公司所提存的准备金与保险责任相关，所以称为责任准备金。我国《保险法》第98条规定：“保险公司应当根据保障被保险人利益、保证偿付能力的原则，提取各项责任准备金。保险公司提取和结转责任准备金的具体方法，由国务院保险监督管理机构制定。”我国《保险法》第100条则对保险保障基金的提取和使用作了规定。责任准备金通常分为未到期责任准备金、未决赔款准备金和总准备金。但我国常将其分为：未到期责任准备金、未决赔款准备金和保险保障基金。
我国保险责任准备金因险种的性质不同而不同，通常分为寿险责任准备金和非寿险责任准备金两类，如图10-1所示。
图10-1 保险责任准备金分类图
二、非寿险责任准备金
非寿险责任准备金包括未到期责任准备金、未决赔款准备金和保险保障基金。
（一）未到期责任准备金
1.未到期责任准备金的概念
未到期责任准备金(the unearned premium reserve)是会计年度决算时对未满期保单的保险费所提存的准备金。由于会计年度与保险年度的不一致性，按照权责发生制的原则，对于未到期的保单，必须提存未到期责任准备金，以作为保险公司履行保险责任的准备。由于非寿险一般一年一保，因此，非寿险的未到期责任准备金，是当年承保业务的保险单中在下一年度有效保单的保险费。
2.未到期责任准备金的确定方法
未到期责任准备金在会计年度决算时一次计算提存，其提取方法从理论上说有年平均估算法、季平均估算法、月平均估算法和日平均估算法。
（1）年平均估算法，又称50%估算法、1/2法。假定每年中的所有保单是在365天中逐日均匀开立的，即每天开立的保单数量及保险金额大体相等，每天收取的保险费数额也差不多，这样一年的保单在当年还有50%的有效部分未到期，则应提存有效保单保费的50%作为准备金。其计算公式为：
上式中，自留保险额＝全年保费收入＋分入保费－分出保费。
若以表示某年度的自留保险额，表示某年度的未到期责任准备金，则：
该方法计算简便，但不很准确，尤其在自留保险费在全年分布很不均匀的条件下，则失去其使用的价值。若自留保险费主要在上半年，则提存的未到期责任准备金偏高；反之，则偏低。
（2）季节平均估算法，又称8分法。该方法假定每一季度中承保的所有保单是逐日开出的，且每天开出的保单数量、每份保单的保额及保险费大体均匀。因此，每一季度末已到期责任为1/8，未到期责任为7/8，然后每过一季，已到期责任加上2/8，未到期责任减去2/8。
若以表示某季度的自留保险费；表示某季度的未到期责任准备金；表示某季度，表示未到期责任准备金时间系数；表示全年未到期责任准备金， 则：
即：未到期责任准备金=第一季度自留保险费×1/8＋第二季度自留保险费×3/8＋
第三季度自留保险费×5/8＋第四季度自留保险费×7/8
（3）月平均估算法，又称24分法。假定一个月内所有承保的保险单是30天内逐日开出的。且保单数量、保额、保费大体均匀，则对一年期保单来说，开立的保单的当月已到期责任为1/24，23/24的保费则是未到期责任，以后每过一个月已到期责任增加2/24，未到期责任准备金减少2/24。所以，到年年末，1月份开出的保单其未到期责任准备金为保费的1/24，2月份的是3/24，以此类推，到12月份的保单则提取到23/24。
若以表示某月的自留保险费；表示某月度的未到期责任准备金；表示某月度，表示未到期责任准备金时间系数；表示全年未到期责任准备金，则：
即未到期责任准备金＝第1月自留保险费×1/24＋第2月自留保险费×3/24＋…＋第12月自留保险费×23/24。
这种方法比年平均估算法和季平均估算法都精确，适用于每月内开出保单份数与保额大致相同而各月之间差异较大的业务。
（4）日平均估算法。它是根据有效保单的天数和未到期天数来计算提存未到期责任准备金的方法。若以表示某日的自留保险费；表示日的未到期责任准备金；表示某日，表示未到期责任准备金时间系数；表示全年未到期责任准备金，则：
显然，该方法较月平均估算法更精确，但计算工作量非常大。故常采用简化的近似计算公式：
我国1995年《保险法》规定采用的是年平均法，但2009年修订的《保险法》第98条规定，保险公司应当根据保障被保险人利益、保证偿付能力的原则，提取各项责任准备金。保险公司提取和结转准备金的具体方法，由国务院保险监督管理机构制定。
（二）未决赔款准备金
1.未决赔款准备金的概念
未决赔款准备金（the outstanding loss reserves）也称赔款准备金,是在会计年度决算以前发生保险事故但尚未决定赔付或应付而未付赔款，而从当年的保险费收入中提存的准备金。它是保险人在会计年度决算时，为该会计年度已发生保险事故应付而未付赔款所提存的一种资金准备。根据《保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）规定》：未决赔款准备金是指保险公司为尚未结案的赔案而提取的准备金，包括已发生已报案未决赔款准备金、已发生未报案未决赔款准备金和理赔费用准备金。其中，已发生已报案未决赔款准备金是指为保险事故已经发生并已向保险公司提出索赔，保险公司尚未结案的赔案而提取的准备金。已发生未报案未决赔款准备金是指为保险事故已经发生，但尚未向保险公司提出索赔的赔案而提取的准备金。理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。提存未决赔款准备金是为了支付已发生保险事故但尚未理赔所作的资金准备。
2.对于未决赔案应提存的未决赔款准备金
未决赔案是指被保险人已提出索赔，但保险人与索赔人就索赔案件是否属于保险责任范围、保险赔款应为多少等事项尚未达成协议的案件。未决赔款准备金的估计方法有：
（1）逐案估计法。即由理赔人员逐一估计每起索赔案件的赔款额，然后记入理赔档案，到一定时间把这些估计的数字汇总，并进行修正，据此提存准备金。这种方法比较简单但工作量大，适用于索赔金额确定，或索赔数额大小相差悬殊而难以估算平均赔付额的财产保险业务，如火灾保险、信用保险之类。
（2）平均值估计法。先根据保险公司的以往损失数据计算出平均值，然后再根据对将来赔付金额变动趋势的预测加以修正，把这一平均值乘以已报告赔案数目就得出未决赔款额。这一方法适用于索赔案多而索赔金额并不大的业务，如汽车保险。
（3）赔付率法。选择一定时期的赔付率来估计某类业务的最终赔付数额，从估计的最终赔付额中扣除已支付的赔款和理赔费用，即为未决赔款额。这种方法简便易行，但若假定的赔付率与实际赔付率有较大出入时，则计算的结果不很准确。
（4）表式估值法。这种方法只适用于赔付额取决于寿命、受益人再婚和其他一些偶然因素的索赔，如劳工保险中的全部丧失工作能力和遗嘱金给付。由于估计保险金给付期需要使用死亡率、发病率和再婚率表，故又称为表式准备金。
3.已经发生保险事故但尚未提出保险赔偿或者给付金额的未决赔款准备金
此类赔款的估计比较复杂。一般以过去的经验数据为基础，然后根据各种因素的变化进行修正，如出险单位索赔次数、金额、理赔费用的增减、索赔程序的变更等。这种索赔估计需要非常熟悉和精通业务的管理人员准确判断。
由于赔款准备金包括赔款额和理赔费用两部分，因此应把两部分分别提留。在美国，理赔费用准备金约占全部准备金的5%-20%。我国保险监督机构则允许非寿险公司选择未决赔款准备金的提取方法。
（三）保险保障基金
保险保障基金是保险人为应对保险公司因保险事故发生保险金赔付危机而从保费收入中提存的准备金。主要在保险公司发生赔付保险金危机时运用。我国《保险法》第100条规定：保险公司应当缴纳保险保障基金。保险保障基金应当集中管理，并在下列情形下统筹使用：在保险公司被撤销或者被宣布破产时，向投保人、被保险人或者受益人提供救济；在保险公司被撤销或者被宣告破产时，向依法接受其人寿保险合同的保险公司提供救济；国务院规定的其他情形。保险保障基金筹集、管理和使用的具体办法，由国务院制定。这说明保险保障基金应当集中管理，统筹使用。
建立保险保障基金的目的在于：规范保险保障基金的筹集、管理和使用，保障保单持有人合法权益，促进保险业健康发展，维护金融稳定。据此，我国根据《保险法》等有关法律、行政法规，制定了《保险保障基金管理办法》。
中国保监会于2003年公布了《保险公司非寿险业务准备金管理办法（试行）》，并且自2005年1月15日起施行。该规定对保险公司的各种非寿险准备金的提取作了具体规定。
三、寿险责任准备金
人身保险分为人寿保险、健康保险和意外伤害保险，由于人身意外伤害保险、健康保险大多属一年以内的短期险，与财产保险在费率计算方面具有类似性质，所以其责任准备金的计算原理与财产保险类似。人寿保险则属于长期险，与财产保险在费率计算方面有显著不同，需要计算寿险责任准备金。
（一）寿险责任准备金的概念
由于人寿保险采取均衡保费的缴费方式，因而在投保后的一定时期内，投保人缴付的均衡纯保费大于自然保费（或支出），此后所缴付的均衡纯保费又小于自然保费（或支出）。对于投保人早期缴付的均衡纯保费中多于自然保费的部分，不能作为公司的业务盈余来处理，只能视为保险人对被保险人的负债，须逐年提存并妥善运用，以保证履行将来的保险金给付义务。这种逐年提存的负债就是寿险责任准备金。《保险法》规定：其具体提取方法由保险监督管理机构制定。一般情况下，寿险责任准备金既可视为保险人为平衡将来要发生的债务而提存的资金，也可以看作保险人还未履行保险责任的已收保费的积累金额。
保险公司将其每年收取的均衡纯保费中的负债部分提取出来，并累积生息，其终值就是应提取的寿险责任准备金。根据我国保险法的规定，寿险责任准备金分为未到期责任准备金和保险保障基金，寿险公司保险保障基金的提取与非寿险的相同，故以下只讨论寿险未到期责任准备金的计算。
（二）提存责任准备金的方式
提存责任准备金有两种方式：一种是理论责任准备金提取法，另一种是实际责任准备金提取法（也称修正责任准备金提取法）。两者的区别在于计算的依据不同，理论责任准备金是以均衡纯保费为依据计算的，修正责任准备金则是根据修正后的非均衡纯保费计算的。
我们知道，均衡保费由均衡纯保费和均衡附加保费构成。均衡纯保费用于保险金给付，均衡附加保费用于营业费用支出。理论责任准备金的提存前提是假定每年的营业费用相同（即营业费用也是均衡的），从而每年的均衡附加保费正好满足营业费用支出的需要。这样，在提存责任准备金时，只需将每年收取的均衡纯保费在用于自然保费（或支出）后的剩余部分作为责任准备金提存，这样提存的责任准备金称为理论责任准备金。但是，在实际业务中，营业费用并不是均衡的，表现为前期营业费用（特别是首年营业费用）远高于后期营业费用。原因在于，保险公司在保单签订的前期（特别是首年）需要支出大量费用（如宣传广告费、代理人佣金、体检费等），这些前期费用（特别是首年费用）通常远大于均衡附加保费。因此，若按理论责任准备金提取法提存责任准备金，则前期（特别是首年）所收取的附加保费将不足以满足前期（特别是首年）营业费用支出的需要，势必要动用保险人的资本盈余。为解决这一问题，可以对均衡保费的构成比例加以修正，使得修正后的前期纯保费小于均衡纯保费，前期附加保费大于均衡附加保费，后期纯保费大于均衡纯保费，后期附加保费小于均衡附加保费。然后根据修正后的各年纯保费与自然保费（或支出）的差额提存责任准备金，即实际责任准备金。
可以证明，在整个保险期间内，各年的实际责任准备金总不会超过理论责任准备金，但两者的差额随着时间延长逐步缩小，甚至为零。实际责任准备金和理论责任准备金在保险期间的什么时间达到一致，随缴费方式（如限期缴费年限的长短）和修正方法不同而有所不同，但到保单满期时，二者的差额必然为零。
（三）寿险责任准备金的计算
寿险责任准备金的计算包括理论责任准备金的计算和实际责任准备金的计算。
1.理论责任准备金的计算
由于寿险均衡纯保费的计算基于收支平衡原则，即在任何时点上保险人已收和未来应收的均衡纯保费等价于保险人已付和应付的保险金额。因此，在保单签订日，收支平衡关系如下：
未来应收均衡纯保费的精算现值＝未来应付保险金额的精算现值
移项得：
未来应付保险金的精算现值-未来应收均衡纯保费的精算现值=0
在保单签订日后的某一时点，收支平衡关系如下：
已收均衡纯保费的精算积存值+未来应收均衡纯保费的精算现值=已付保险金的精算积存值+未来应付保险金的精算现值
移项得：
未来应付保险金的精算现值-未来应收均衡纯保费的精算现值=已收均衡纯保费精算积存值-已付保险金的精算积存值
除非在保单签订日，否则一般情况下上述关系式中的左端差额不为零，这个不为零的差额就是责任准备金。由于左右两端差额相等，我们既可以通过计算左端差额也可以通过计算右端差额计算责任准备金，从而得到计算责任准备金的两种等价方法，即预期法和追溯法。
（1）追溯法，也称过去法或已缴保费推算法，是用过去已收纯保费的精算积存值与过去已付保险金的精算积存值差额来计算责任准备金的一种方法。其计算公式为：
责任准备金=过去已收纯保费的精算积存值-过去已付保险金的精算积存值
（2）预期法，也称未来法或未缴保费推算法，是用未来应付保险金的精算现值与未来应收纯保费的精算现值差额来计算责任准备金的一种方法。其计算公式为：
责任准备金=未来应付保险金的精算现值-未来应收纯保费的精算现值
过去法和未来法是计算责任准备金的两种方法，前者以已缴纯保费推算责任准备金；后者以未缴纯保费推算责任准备金。如果所使用的生命表和预定利率相同，则二者计算的结果是一致的。
2.实际责任准备金的计算
实际责任准备金的计算方法有多种，下面介绍两种基本的方法。
（1）Zillmer修正法，又称一般修正方法。该方法1863年由德国的精算师Zillmer提出，并由此而命名。Zillmer修正法系将第一年保险公司要支付大量的初始费用的因素加以考虑，使第一年收入的费用中可用于保险公司使用的附加保费高于均衡附加保费，而使第二年开始以后各年的附加保费减少。因此，第一年的纯保费要少于均衡纯保费，而减少的这部分纯保费再由以后各年“摊还”，这样第二年开始以后各年的纯保费就必须高于均衡纯保费。若用表示均衡纯保费，为修正后的第一年纯保费，为修正后的续年度纯保费，则：
在Zillmer修正法中，为使修正准备金不为负值，要求第一年的纯保费不得小于当年的自然保费。
（2）FPT法，即一年定期修正法。一年定期修正法是令修正后第一年的纯保费等于自然保费，即。
在此前提下，以后续年的纯保费为从岁开始的同一类保险的均衡纯保费。
由于FPT法计算的修正准备金存在一个缺陷：对于高额保费的保单，第一年提取的附加保费往往超过实际费用很多。为此，实践中产生了多种修正法，如保险监督官修正法、加拿大修正法等。
本章的重点是说明一般的原理和方法，至于保险费率的厘定和寿险责任准备金的提取的具体计算非常复杂，是寿险精算的内容。在具体的保险业务中，这就是精算师的工作。
思考与应用
一、核心概念
保险费 保险费率 大数法则 保险产品定价 保险精算 纯费率 附加费率 毛费率 稳定系数 生命表 利率 年金 趸缴纯费率 分期纯费率 终值 现值 责任准备金 寿险责任准备金 非寿险责任准备金 未到期责任准备金 未决赔款准备金 保险保障基金
二、思考题
Ø 1.简述保险费率的构成；
Ø 2.简述保险费厘定的基本原则；
Ø 3.简述人寿保险费的构成及计算原则
4.人寿保险费率厘定的依据是什么？
Ø 5.人寿保险纯保险费的计算方法是什么？
Ø 6.人寿保险毛保险费的计算方法是什么？
Ø 7.财产保险纯费率的计算方法是什么？
Ø 8.责任准备金的类型有哪些？
Ø 9.非寿险责任准备金和寿险责任准备金的计算方法是什么？
10.假设某财产保险过去5年的保额损失率分别为3.1%、2.9%、3.4%、3,1%、2.9%，稳定系数加一个均方差，附加费率为纯保费的20%，求毛费率是多少？
11.30岁的男性，投保5年期的生存保险，保险金额为10000元，求应缴纳的趸缴纯保费是多少（按预定年复利率2%计算）？
